每日训练
按时长选题 · 混合题型·系统智能组卷
20 分钟
分层刷题
60 分钟专题练 · 不显示对错·提交后查看分层提示
开始一份新题 →
专项练习
按题型集中训练 · 每次 30 分钟
📂 题库 ✏️ 笔记 📖 错题
第 3 / 28 题
🔥 压轴难
如图，在△ABC中，AB = AC，D是BC的中点，连接AD并延长交外接圆于点E。
已知∠BAC = 120°，AD = 6cm。
求证：AD ⊥ BC，并求出BE的长度。
已知∠BAC = 120°，AD = 6cm。
求证：AD ⊥ BC，并求出BE的长度。
📐
【几何图形示意图】（支持上传/粘贴图片）
💡 分层提示 & 逐步解答
思考方向：题目给出 AB = AC（等腰三角形），且 D 是 BC 的中点。
回忆等腰三角形的性质："三线合一"定理——底边上的中线、高线、角平分线互相重合。
回忆等腰三角形的性质："三线合一"定理——底边上的中线、高线、角平分线互相重合。
📷 辅助线图位置（点击下方按钮上传）
∵ AB = AC，D 是 BC 中点
∴ 根据三线合一定理，AD 既是中线也是高线
∴ AD ⊥ BC ✓ （第一问得证）
∴ 根据三线合一定理，AD 既是中线也是高线
∴ AD ⊥ BC ✓ （第一问得证）
思考方向：∠BAC = 120° 是一个很大的角！
在等腰三角形中，顶角已知，可以求出底角的大小。而 AD 把顶角∠BAC 平分成了两半……
在等腰三角形中，顶角已知，可以求出底角的大小。而 AD 把顶角∠BAC 平分成了两半……
∵ AB = AC，∠BAC = 120°
∴ ∠B = ∠C = (180° − 120°) ÷ 2 = 30°
∵ AD ⊥ BC（已证），在 Rt△ABD 中
∴ BD = AD × tan(∠BAD) = 6 × tan(60°) = 6√3
∵ D 是中点，∴ BE = 2BD = 12√3 cm ✓
∴ ∠B = ∠C = (180° − 120°) ÷ 2 = 30°
∵ AD ⊥ BC（已证），在 Rt△ABD 中
∴ BD = AD × tan(∠BAD) = 6 × tan(60°) = 6√3
∵ D 是中点，∴ BE = 2BD = 12√3 cm ✓
【完整证明过程】
证明：
(1) ∵ △ABC 中，AB = AC，D 为 BC 中点
∴ 根据等腰三角形三线合一性质
∴ AD ⊥ BC
(2) ∵ AB = AC，∠BAC = 120°
∴ ∠B = ∠C = 30°
又 AD 平分∠BAC，∴ ∠BAD = 60°
在 Rt△ABD 中，AD = 6
∴ BD = AD / tan(∠B) = 6 / tan(30°) = 6√3
∵ D 为 BC 中点
∴ BE = 2BD = 12√3 cm
答：AD ⊥ BC 成立，BE = 12√3 cm。
证明：
(1) ∵ △ABC 中，AB = AC，D 为 BC 中点
∴ 根据等腰三角形三线合一性质
∴ AD ⊥ BC
(2) ∵ AB = AC，∠BAC = 120°
∴ ∠B = ∠C = 30°
又 AD 平分∠BAC，∴ ∠BAD = 60°
在 Rt△ABD 中，AD = 6
∴ BD = AD / tan(∠B) = 6 / tan(30°) = 6√3
∵ D 为 BC 中点
∴ BE = 2BD = 12√3 cm
答：AD ⊥ BC 成立，BE = 12√3 cm。
已解锁 0 / 5 层